Научная биография Гильберта резко распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

теория инвариантов (1885-93),

теория алгебраических чисел (1893-98),

основания геометрии (1898—1902),

принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-06),

теория интегральных уравнений (1900-10),

решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-09),

основы математической физики (1910-22),

логические основы математики (1922-39).

В теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периода бурного развития этой области математики во второй половине XIX века. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработке так называемых прямых методов в вариационном исчислении. Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов. «Основания геометрии Гильберта» (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.

К 1922 у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934 и 1939 гг. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции.

Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С. Кон-Фоссеном. Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением (1932-35), кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать».

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке